一、频数表的编制与频数分布

计量资料有离散型变量和连续型变量。对离散型变量，可列出变量值及其频数如表4.1。若变量值较多时，亦可用组段表示如表4.2。每个组段的起点称下限，终点称上限，上限与下限之差称组距。如表4.2第一组的下限是0，上限是1。第二组的下限是2上限是3，组距都是1。归组以后，该组的变量值用组段的中值代表，称组中值。如第一组的组中值为0.5。

表4.1　某市居民1095天中每天意外死亡人数(1980～82年)

死亡人数	天数
	807
1	250
2	31
3	5
4
5
6
7	1
8
┆	┆
15	1
合 计	1095

表4.2　204名轧钢工人白细胞中大单核所占百分比

大单核数（个/每百白细胞）	人数
0-1	24
2-3	40
4-5	55
6-7	37
8-9	27
10-11	18
12-13	1
14-15
16-17	1
18-19
20-21	1
合计	204

若是连续型变量，组段的写法与离散型变量的略有不同。如表4.3坐高第一组段下限为61，上限为62；第二组段的下限为62，上限为63。因此，上一组段的上限和下一组段的下限值相同。为便于归组，上限一般不写出来。如第一组写成“61-”，意思是凡坐高在61至未离散型变最的数值较大时，亦可按连续型变量写组段，如红细胞数（万/mm³）的组段应写成400-419，420-439，…，亦可简化写成400-，420-，…。这样由组段和频数两部分组成的表称为频数表。下面用表4.4资料说明频数表编制步骤。

表4.3　某市7岁男童坐高频数表

表 4.4　西安市7岁男童102人的坐高，cm

64.4	63.8	64.5	66.8	66.5	66.3	68.3	67.2	68.0	67.9
63.2	64.6	64.8	66.2	68.0	66.7	67.4	68.6	66.8	66.9
63.2	61.1	65.0	65.0	66.4	69.1	66.8	66.4	67.5	68.1
69.7	62.5	64.3	66.3	66.6	67.8	65.9	67.9	65.9	69.8
71.1	70.1	64.9	66.1	67.3	66.8	65.0	65.7	68.4	67.6
69.5	67.5	62.4	62.6	66.5	67.2	64.5	65.7	67.0	65.1
70.0	69.6	64.7	65.8	64.2	67.3	65.0	65.0	67.2	70.2
68.0	68.2	63.2	64.6	64.2	64.5	65.9	66.6	69.2	71.2
68.3	70.8	65.3	64.2	68.0	66.7	65.6	66.8	67.9	67.6
70.4	68.4	64.3	66.0	67.3	65.6	66.0	66.9	67.4	68.5
68.3	69.7

(一)找出原始资料中的最小、最大值表4.4坐高的最大值为71.2cm，最小值为61.1cm，最大值与最小值之差称极差为10.1cm。

（二）定组距先考虑组数。资料在100例以上的一般分10-15组。若例数较少，组数可相应少些；例数很多，组数可酌情多些，以能显示分布的规律为宜。此例拟分10组。将拟分的组数除极差（10.1/10≈1）得组距的约数。再调整到较方便的数如0.1、0.2、0.5，1、2、5、10、20、50……等。此例取组距为1。

（三）写组段取等于或略小于最小值的整数为第一组的下限。按组距依次写出各组段的下限及短横，见表4.3组段行，注意短横“-”不能略去。

（四） 划线记数像选举开票那样，将变量值逐个归入相应的组段，如将64.4归入“64-”组，63.8归入“63-”组。每归入一个变量值，在相应的组段内划一竖线，每逢第五线则作一横线跨在已划出的四条竖线上，这样五线连在一起最后计数时就很方便了。划完后将每个组段内的线条数写出，再将各组频数合计，频数表就编好了。

若事先不能确定合适的组数，可先分细些，需要时再将相邻两组合并。而分粗了，再要分细，则只得重划。

表4.4的资料编成频数表（见表4.3）后，可看出变量值的分布情况，若绘成直方图就更直观。从图4.1可看到横坐标约为66.5cm处直方最高，表示变量值围绕在66.5左右的最多；两侧对称下降，大于66.5和小于66.5的变量值个数基本相等。这种类型的分布为对称分布。第五章介绍的正态分布是其中最常见的一种。

图4.1　西安市7岁男童坐高分布

此外，如图4.2，变量值愈小频数愈多图形呈“L”形，图4.3的频数集中在变量值较小的一边，右侧尾部拖得很长。后两种属偏态分布。这三种频数分布都只有一个高峰称单峰分布。为更准确地说明分布的特征，对形状相同的分布作出集中位置和离散程度的比较，就需计算频数分布的一些特别值。如平均数、百分位数、极差、标准差、变异系数等。

图4.2　某市1095天中居民意外死亡人数（1980-1982）

图 4.3　204名轧钢工人白细胞中大单核所占百分比

二、众数、中位数、百分位数的意义及计算法

（一）众数出现次数最多的变量值，或频数表上频数最多组的组中值即为众数。如表4.3中坐高的众数是66.5cm。这样仅由观察所得的众数称为观察众数。同一资料常因所用组距不同和下限取值不同，观察众数稍有出入，故又称概约众数，与观察众数相对应的尚有理论众数。理论众数的算法根据频数曲线类型的不同而异，数学上为与极大值相应的横坐标。

（二）中位数及百分位数

1．中位数 将n个变量值从小到大排列后，居中的一数就是中位数，符号为M，有的书上用Md。它将变量值分为两半，一半比它小，一半比它大。

X₁2<…n-1a

当n为奇数时

（4.1）

当n为偶数时

（4.2）

当资料呈明显偏态，或有个别的特小、特大值存在时，中位数的代表性往往比均数好。例如有5个变量值8、9、9、10、19。其中4个在9左右，但由于受数值19的影响，均数为11，不能很好代表中等水平。求中位数

比较符合实际。

根据频数表计算连续型变量的中位数可用式（4.3）或式(4.4)

（4.3）

或（4.4）

式中L、U分别为中位数所在组的下限及上限，A₁为小于L的各组的累计频数，A₂为大于U的各组的累计频数，f_M、i分别为中位数所在组的频数和组距。现用表4.5说明计算步骤如下：

（1）求出中位数的位置。在频数表上，数据已由小到大排好了。中位数将频数等分为2，因此先计算n/2，得中位数的位置。

n/2=157/2=78.5

（2）列出频数表、计算累计频数。列频数表时，组段的短横“－”写在两个组段下限之间，其意义仍与写在右边的相同，见表4.5第（1）栏。

第（3）栏为累计频数。此例自上而下累计到略小于n/2为止得A₁=41，表示住院天数为10天及以下的有41个人。若要知道第78.5人的变量值，就需要从10-15组内再累计（78.5-41=）37.5人。假定该组的49人在10-15天内均匀分布着（见图4.4），那么只要在10天上再加（78.5-41）/49个组距便是中位数了。所以

用符号表示见式（4.3）。

若将频数自下而上累计到略小于n/2为止，则得A₂=67。也得出中位数在10-15组段内。

图4.4　中位数计算示意图

（3）写出L或U、f_M及i。

（4）代入公式得M。

例4.1 求杆菌痢疾治愈者157名住院天数的中位数。

n/2＝157/2＝78.5

表4.5　杆菌痢疾治愈者的住院天数

L=10或U=15，f_M=49，i=5。

代入公式

杆菌痢疾治愈者住院天数的中位数为13.8天。

中位数既然把频数等分为二，所以从另一端算起，用式（4.4）可得到同样的结果。

此例若计算治愈者平均住院天数得17.9天。从频数表上可看到157名患者中住院天数少于15天的就有90名，占57.3%，因此中位数13.8天的代表性优于均数17.9天。

2．百分位数　中位数将频数等分为二，亦称二分位数。若将频数等分为四，则称四分位数，共有三个四分位数，即第一、第二、第三四分位数。第二四分位数即中位数。同理，将频数等分为十或一百的分位数称十分位数或百分位数。其实上述各种分位数都可用百分位数表示。百分位数的符号为P_x，X代表第X百分位。例如第一四分位数、中位数可分别以P₂₅、P₅₀表示。计算百分位数的方法与中位数相似，只是式（4.3）中的n/2以nx/100代替，M以X代替。

（4.5)

式中L_X、f_x、i_x分别为P_x所在组的下限、频数及组距。A为小于L_x各组的累计频数。

例4.2，求例4.1中住院天数的P₉₀。

（1）计算

（2）累计频数自上而下至略小于141.3，见表4.5第（4）栏，得A=135。知P₉₀在30-35组内，因此Lx=30，i=5,f_x=7

（3）代入公式

第90百分位数为34.5天，说明有90%的患者住院天数在34.5天以下。

三、算术均数与几何均数的意义及计算方法

（一）算术均数简称均数。设观察了n个变量值X₁，X₂，……Xa，一般可直接用式（4.6）求样本均数X。

式中∑是总和的符号，n是样本含量即例数。本书在不会引起误解的情况下简写成

X=１/n∑X　（4.6)

例4.318-24岁非心脏疾患死亡的男子心脏重量（g）如下，求心重的均数。

350	320	260	380	270	235	285	300	300	200
275	280	290	310	300	280	300	310	310	320

X＝1/20（350+320+…+320）＝5875/20＝293.75g

样本均数是总体均数的估计值，它有两个特性。（1）∑（X-X）=0，（2）∑（X-X）²为最小，前者读者

可自证，后者证明如下：

设：a≠X，则a＝X±d　d>0

∑(X-a)²＝∑(X-X±d)²

^＝∑[(X-X)±d]²

^＝∑(X-X)²±2d∑(X-X)+Nd²

从第一个特性知∑(X－X）＝0，因此2d∑（X－X）＝0，

得

∑（X－a）²＝∑（X－X）²＋Nd²

N是例数，不可能为负，所以Nd²也不会是负数。

∑（X－a）²＞∑（X－X）²，∑（X－X）²为最小。

当用电子计算机处理大量实验数据，考虑到有较大舍入误差时，则先取一较近均数的常数c ，然后用式（4.7）计算，可提高均数的精度。

X＝C＋1/n×（X_i－C）　　　　　　（4.7）

若每输入一个变量值后都希望得到均数，那么可用式（4.8）

X＝X_n-1+1/n×（X_n-X_n-1(4.8)

例4.4 仍用例4.3资料，已算得前19例心重的X_１０=292.37,又测得X₂₀=320，求X₂₀。

X₂₀＝292.37+1/20×(320-292.37)=293.75g

若相同的变量值个数较多，或对频数表资料求均数时，可用式（4.9）计算X。

或简写为X＝1/n∑fX　(4.9)

式中K为不同变量值个数，或频数表中的组段数。Xi为第i个不同的变量值或频数表上的组中值，fi为第i个变量值的频数。

例4.5 计算表4.5菌痢治愈者的平均住院天数。

X＝1/157（3×2.5+38×7.5……+1×77.5）=17.9天

式（4.9）中某变量值的频数愈大，则该变量值对X的影响亦愈大。因此，频数又称权数，这样

计算出来的均数又叫加权均数。亦有根据变量值的重要性进行加权，计算加权均数的。

（二）几何均数设n个变量值X₁，X₂，……，Xa呈对数正态分布，其几何均数G为

式中∏为连乘的符号。当变量值较多时，乘积很大，计算不便，常改用下式计算

(4.10)

或(4.11)

式中符号含义同式（4.6）与式（4.9）。

例4.6　求下表中麻疹病毒特异性IgG荧光抗体的平均滴度。

表4.6　52例麻疹患者恢复期血清麻疹病毒

特异性IgG荧光抗体滴度

IgG滴度倒数	例数
40	3
80	22
160	17
320	9
640
1280	1

G=log^-1[1/52×(3log40+22log80+…+log1280）]=129.3

麻疹患者恢复期血清麻疹病毒特异性IgG荧光抗体的平均滴度为1:129。

式（4.10）包含三个步骤，（1）令X_i=logX_i，则式（4.10）可写成；(2)1/n∑X_i

即对数数值的均数X；（3）将X取反对数即得几何均数1og^-1X=G。这里不难理解，若将这种资料作对数变换后，即可用式（4.6）至式(4.9)的各式计算均数，得到结果后再取反对数即得几何均数。读者可自已验证。

四、运用平均数的注意事项

平均数是描述一群同质变量值集中位置的特征值，用来说明某现象或事物数量的中等水平。通常用平均数作为算术均数、几何均数、众数、中位数等的统称，而以均数作为算术均数的简称。

1．同质的事物或现象才能求平均数我们检查200名正常人的红细胞数（万/mm³）计算平均数，定出正常值范围，作为诊断贫血的依据之一。如果正常人中混有贫血患者，那么求出的平均数既不能说明正常人也不能说明贫血患者，有人把它称为虚构的平均数，因为它模糊了数量特征，不能提供分析的依据了。因此计算平均数以前必须考虑资料的同质性。有人研究某药物的利尿作用，观察了二条狗、三头兔子用药前后的排尿滴数，曾将狗与兔子的排尿滴数加在一起求平均数。由于狗体大，排尿滴数较兔子的多，得到的平均数对狗来说似嫌少，而对兔子来说又显得太多，这是虚构平均数的又一例。

像狗与兔子，贫血患者与正常人的不同质是显而易见的。但即使是正常人，性别、年龄、地区不同，红细胞数的均数也有差异。那么怎样才算是同质呢？是否同质，要根据研究目的而定。例如研究痢疾患者的平均治愈日数时，要考虑不同病原菌、不同型别（急性、慢性等）的患者是不同质的。但当研究传染病的住院日数时，则不同疾病（痢疾、伤寒、……）是不同质的，而所有痢疾病人，不论由何种病原菌引起，或是何种型别都认为是同质的了。若研究各医院的平均住院天数时，医院类型（传染病院、儿童医院、综合医院、……）以及同类医院中，科室（内、外、传染……）设置及床位分配不同等就是不同质的了。不同质的事物就要分组求平均数，以便分析比较。因此科学的平均数是建立在分组的基础上的。

2．用组平均数补充总平均数表4.7是某院1983年的治愈者平均住院天数。总均数为18天。但从表中可见，它所包含的20类（其他类除外）的疾病中，变态反应及中毒、小儿科疾病住院天数最短为9天，而结核病的却长达60天。住院天数高于总均数的有10类，治愈人数共1358人，占治愈总人数（其他类除外）的35%。若医疗质量基本不变，多收结核病人，住院天数的总均数无疑会延长；而多收小儿患者，总均数就会缩短。因此如没有收容病种的分析，仅从总均数的延长或缩短来看医疗质量是不科学的。而对各时期同种疾病的住院天数进行分析，比较适宜。

表4.7某医院1983年各类疾病治愈者的平均住院天数

病类	治愈人数	平均住院天数	病类	治愈人数	平均住院天数
传染病寄生虫病	437	13	外科疾病	549	18
结核病	109	60	外伤	383	28
呼吸系疾病	246	14	肿瘤	65	34
消化系疾病	255	24	眼科疾病	112	14
内分泌疾病	41	35	耳鼻喉科疾病	417	10
循环系疾病	34	37	口腔科疾病	30	12
血液及造血系统疾病	7	33	皮肤科疾病	224	22
神经系疾病	111	25	妇产科疾病	78	12
变态反应及中毒	43	9	小儿疾病	601	9
风湿病	21	10	其他	35	19
泌尿系疾病	129	21	合计	3927	18

3．根据资料的分布选用适当的平均数　计量资料如是单峰对称分布，宜用均数，亦可用中位数。若是偏态分布则中位数的代表性常较均数为好。某些传染病的潜伏期、抗体滴度、细菌计数、率或比的变化速度及某些物质浓度等，其频数分布明显偏态，但经对数代换后近于正态分布的，如图4.3资料，应计算几何均数以描述其中等水平。