一、变异指标的意义及种类

设有甲乙两人，对同一名患者采耳垂血，检查红细胞数（万/mm³），每人数五个计数盘，得结果为

						合计	均数
甲	480	490	500	510	520	2500	500
乙	440	460	500	540	560	2500	500

两人计数的均数都是500，能说两人的检验技术相同吗？不能，因为甲的计数结果比较密集，而乙的分散，因此甲的检验精度显然比乙的高。从上可以看出：描述一群变量值，除用平均数等表示其集中位置外，还要说明其分散或变异情况。说明变异情况的特征值称变异指标。变异指标的种类较多，下面分别介绍极差、四分位数间距、均差、方差、标准差及变异系数。

1．极差最大值与最小值之差称极差（或全距），符号为R，是变异指标中最简单的一种。如上例甲计数的极差为520－480=40，乙的为560-440=120。可见乙的计数较甲的波动大。一般把最小值与最大值写在括号里，附在极差的后面。如上例写成40（480～520）与120（440～560）。其单位与变量值的相同。

当调查例数增多时，遇到较大或较小极端值的机会就加大，因此最大值与极差随着例数的增多而加大，但最小值却随着例数的增多而变小。

极差计算简便，但只考虑了最小、最大值，因此易受个别极端值的影响，且随例数的多少而变动，不稳定。仅用于粗略地说明变量值的变动范围。但在正态分布中可用以估计标准值范围，详见有关文献。

2．四分位数间距极差的不稳定主要是受两极端数值的影响，于是有人将两端数据按比例去掉一定例数，这样所得数据就比较稳定了。例如两端各去掉25%，取中间50%数据的数值范围，那么只要计算P₂₅与P₇₅，求P₇₅与P₂₅之差即得四分位数间距，符号为Q。

Q=P₇₅-P₂₅（4.12）

例4.7　试计算表4.8七岁男童坐高的四分位数间距

求 P₂₅的位置102×.25=.25.5.

求 P₇₅的位置102×.75=.76.5.

求累计频数得：

L₂₅=65，L₇₅=68，

A₂₅=22，A₇₅=75，

f₂₅=15, f₇₅=13,i=1

表4.8　7岁男童的坐高

坐高(cm)	例数(f)	累计频数
61-	1	1
62-	3	4
63-	4	8
64-	14	22
65-	15	37
66-	21	58
67-	17	75
68-	13	88
69-	7	95
70-	5	100
71-	2	102
合计	102	—

代入式（4.5）得：

Q=68.12-65.23=2.89 cm

有50%的7岁男童，坐高在65.23～68.12cm之间，其四分位数间距为2.89cm。

3．均差四分位数间距虽比极差稳定，但仍只是两点之间的距离，没有利用每个变量值的信息。于是有人计算每个变量值与均数（或中位数）差的绝对值之和，然后平均称为均差（或平均直线差）作为变异指标之一。

(4.13)

例4.8 试计算4.3中，心重的均差。

由例4.3知X=293.75g，代入式（4.13）得

4．方差式式（4.13）中用变量值与均数之差的绝对值之和∑∣X-X∣，而不用离均差之和∑(X-X)是因为∑（X-X）=0，不能说明变异情况，故取绝对值以去掉负号。亦有人用平方的办法，即用离均差平方和∑（X-x ）²，既去掉了负号，又提高了指标的灵敏性。因为数值愈大，平方后增大的愈多，所以离均差稍有变化，就能从指标上反映出来。例如有甲乙两组数据如下：

						X	∑∣X-X∣	∑(X-X)2
甲组	10	11	12	13	14	12	6	10
乙组	9	12	12	13	14	12	6	14

乙组仅有两个数据与甲组的不同，这种不同从∑∣X-X∣或均差上是反映不出来的，但从∑（X-X）²上却反映出来了。以∑（X-X）²组成的变异指标有方差与标准差。方差是标准差的平方，将在第八章讨论，下面先介绍标准差。

二、标准差

1．标准差的公式样本标准差是用得最多的变异指标，其公式为

(4.14)

式（4.14）中的n-1是自由度。n个变量值本有n个自由度，但计算标准差时用了样本均数X，因此就受到了一个条件即∑X= nX的限制。例如有4个数据，它们的均数为5。由于受到均数为5的限制，4个数据中只有3个可以任意指定。如果任意指定的是4、3、6，那么第4个数据只能是7，否则均数就不是5了。所以标准差的自由度为n-1。

2．标准差的计算

（1）按基本公式（4.14）计算

例4.9 用例4.3资料计算心重的标准差。

已算得X=293.75g，代入式（4.14）得

（2）递推法当用电子计算机进行计算，希望每输入一个数据，都能得到X与S，则将式（4.8）与式

（4.5）配合计算。

(4.15)

这里S_n表示n个数据的标准差，S_n-1表示n-1个数据的标准差。X_n是第n个数据，X_n-1是n-1个数据的均数。

例4.10 仍用例4.3资料，已算得前19例心重的X₁₉=292.37，S₁₉=38.71。X₂₀=320，代入式（4.15）得

（3）直接法 不需先计算均数，直接用变量值代入式（4.16）或式(1.17)计算。

（4.16)

或(4.17)

式（4.16）的分子是由式（4.14）的分子简化而得来的，证明如下。

例4．11用ELISA（酶联免疫吸附测定）法检测vero-E₆，细胞培养上清正常标本10份的结果（100XOD₄₉₀值）为2，3，3，4，4，5，5，5，6，8，求标准差。

若用式（4.16）则先计算

∑X=2+3+3+…+6+8=45

∑X²=2²+3²+3²+…6²+8²=229

若用式（4.17）则先计算

∑fX=1×2+2×3+…+1×6+1×8=45

∑fX²=1×2²+2×3²+…1×6²+1×8²=229

然后代入式（4.16）或式（1.17）结果相同。

三、变异系数

上述各种变异指标可用来比较同类事物变量值间的变异情况。各变异指标的共同点是：值小表示变量值密集，值大表示变量值分散。但在有些情况下用标准差等变异指标来比较就不适宜了。如某地7岁男童身高均数为123.10cm ，标准差为4.71cm;体重的均数为22.29kg，标准差为2.26kg。由于单位不同，我们不能因为4.71>2.26而说身高的变异大于体重，需要有另一个指标，它不受单位的限制，那就是变异系数，其公式为：

CV=S/X×100%，X>0　　　　（4.18）

也就是将标准差化为各自均数的百分数，然后比较。这样不但可以比较单位不同的变量值间的变异，而且可以比较均数相差悬殊的变量值间的变异。

上述7岁男童身高、体重的变异系数分别为

身高CV=4.17/123.10×100%=3.83%

体重CV=2.26/22.29×100%=10.14%

可见同一批儿童的体重变异比身高的大。

例4．12被试者9人，试验时坐在舒适的牙科椅上测口腔压力波幅PcmAq（厘米水柱）。然后外加呼吸阻力20cmAq（1/sec），5分钟时再测口腔压力波幅结果如下。试比较外加呼吸阻力前后，口腔压力波幅的变异。

表4.9　外加呼吸阻力前后的口腔压力波幅

口腔压力波幅，cmAg

	口腔压力波幅，cmAg
	X	S	CV（%）
加阻力前	1.218	0.256	21.019
加阻力后	7.240	0.633	8.741

外阻力前口腔压力波幅的变异较大。

外加呼吸阻力前后的口腔压力波幅的单位都是cmAq，如直接比较两个标准差，可能会得出加阻力后数值变异较大的结论。但由于两均数相差悬殊，加阻力后的均数几乎是加阻力前的6倍，因此就不宜直接比较标准差而应比较它们的变异系数。

变异系数还常用于比较多个样品重复测定的误差等。

运用变异系数时应注意（1）有关的事物间才能作比较，不要将风马牛不相及的东西硬拉在一起作比较；（2）均数小于标准差时应考虑其实际运用价值。因为在这种情况下，可能誇大变异，故不宜使用；（3）比较两变异系数间是否真有差别，亦应作假设检验，不能只看表面值就下结论。

[附]比较两变异系数可用u检验，其公式为

式中V为以小数表示的变异系数，S_V²是变异系数的标准误的平方，n是样本含量。u是正态离差系数。

例4．13比较例4.12中两总体变异系数间有无差别。

H：两总体变异系数相等

H₁：两总体变异系数不等

α=0.05

u>u_0.05,0.05>P>0.01,在α=0.05的水准处拒绝H，接受H₁，两总体变异系数不等。外加呼吸阻力前的口腔压力波幅的变异较大。

四、运用变异指标的注意事项

1．变异指标表示变量值的变异情况或离中趋势，常与位置指标平均数结合运用，说明变量值集中的位置与离散程度。

2．变异指标种类虽多，但任一变异指标，其值大表示变异大，数值参差甚；值小表示变异小，数值较集中。比较两个或几个同类事物的变异，要用同一变异指标。

3．正态分布资料宜用均数与标准差（有时用方差）描述集中与离散情况，记为X±S。有了均数与标准差就可根据正态分布理论将频数分布描绘出来，进一步可作正常值范围估计与假设检验等（详见第五至第七章），应用较广。为便于计算，正态分布资料亦可用中位数、百分位数和四分位数间距等描述，其结果与用均数、标准差相近。

偏态分布资料宜用中位数及四分位数间距、均差等描述。尤其在资料分布呈明显偏态时，随着例数的增多，中位数、四分位数间距及均差的代表性和稳定性明显优于均数、标准差及方差。

众数和极差只用来对单峰资料作概括的描述。

4. 比较几组资料的变异程度，若各组资料的单位不全相同，或均数相差悬殊时，用变异系数。

5．判断几个方差或变异系数间有无显著差别，需作假设检验，不能只看表面值。详见第七、第八章有关内容。